加法定理から積和・和積の公式を導く｜電験の三角関数を最小暗記で

皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。

三角関数の公式集を開くと、加法定理のあとに「積和の公式」「和積の公式」がずらりと並んでいて、それだけで戦意を喪失した経験はないでしょうか。私は公式を覚えるのが苦手なので、電験の受験時代からこれらを丸暗記したことは一度もありません。本記事では、覚える公式を加法定理だけに絞り、積和・和積はその場で作り出すという私のやり方を、導出の手順まで含めて整理します【PR】。

📌 この記事でわかること

✓ 積和・和積の公式を丸暗記しなくてよい理由
✓ 加法定理から積和・和積を作り出す3ステップ
✓ その導出が電験の「有効電力」計算でどう効くか

　この記事の内容

覚える公式は「加法定理」だけでいい
STEP1：土台となる加法定理を書き出す
STEP2：積和の公式は「加法定理を足し引き」して作る
STEP3：和積の公式は「積和の文字を置き換えて」作る
電験ではどこで使うのか
まとめ

覚える公式は「加法定理」だけでいい

積和の公式は4本、和積の公式も4本あります。符号や係数がよく似ていて、正確に覚え分けるのは大変です。試験の緊張下で「ここはプラスだったか、マイナスだったか」と迷った経験のある方も多いはずです。

ですが、これらはすべて加法定理から数行で導けます。覚えるのは加法定理の4本だけにして、積和も和積もその場で作り出すほうが、暗記量も間違いも減ります。公式を減らすという考え方は、電験の学習全体で効いてくる省エネ戦略です。

今回のゴール

覚えるのは加法定理の4本だけ（土台）
加法定理を足し引きして「積和の公式」を作る
積和の文字を置き換えて「和積の公式」を作る

STEP1：土台となる加法定理を書き出す

出発点はこの4本だけです。ここだけは覚えてください。

\begin{align}
\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\
\end{align}

符号の並びがあやしくなったら、\(\beta=0\) を代入して \(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\) に戻るかを確認すると検算になります。

STEP2：積和の公式は「加法定理を足し引き」して作る

STEP1の4本を、上下でそのまま足したり引いたりします。まず \(\sin\) の2本を足すと、右辺の \(\cos\alpha\sin\beta\) が打ち消し合います。

\begin{align}
\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)&=2\sin\alpha\cos\beta\\
\end{align}

両辺を2で割れば、積 \(\sin\alpha\cos\beta\) が和で表せました。

\begin{align}
\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}\\
\end{align}

同じ要領で、残りの3本も足し引きするだけです。

\begin{align}
\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right\}\\
\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}\\
\sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\left\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}\\
\end{align}

積和の公式は、加法定理を足すか引くかしているだけです。最後の \(\sin\alpha\sin\beta\) だけ頭にマイナスが付くのは、\(\cos\) の加法定理が \(-\sin\alpha\sin\beta\) を含んでいるからで、これも導出すれば自然に出てきます。

STEP3：和積の公式は「積和の文字を置き換えて」作る

和積の公式は、積和の公式で文字を置き換えるだけで作れます。STEP2の和の中身を、次のように置きます。

\begin{align}
A&=\alpha+\beta\\
B&=\alpha-\beta\\
\end{align}

この2式を \(\alpha\)、\(\beta\) について解くと、

\begin{align}
\alpha&=\frac{A+B}{2}\\
\beta&=\frac{A-B}{2}\\
\end{align}

となります。これを \(\sin\alpha\cos\beta\) の積和の式に代入して両辺を2倍すると、和積の公式が現れます。

\begin{align}
\sin A+\sin B&=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\
\end{align}

残りの3本も、対応する積和の式に同じ置き換えをするだけです。

\begin{align}
\sin A-\sin B&=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\
\cos A+\cos B&=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\\
\cos A-\cos B&=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\\
\end{align}

ケンタ

私は本番でも、和積が必要になったらこの置き換えを問題用紙の余白でさっと作っています。覚える公式が1組で済むぶん、ど忘れで手が止まることがなくなりました。

電験ではどこで使うのか

「三角関数の公式変形」と聞くと数学の話に思えますが、電験では交流の電力計算でそのまま登場します。代表例が有効電力の導出です。

瞬時電圧と瞬時電流を次のように置きます。

\begin{align}
v&=\sqrt{2}\,V\sin\omega t\\
i&=\sqrt{2}\,I\sin(\omega t-\varphi)\\
\end{align}

瞬時電力 \(p\) は両者の積なので、\(\sin\) 同士の積が出てきます。

\begin{align}
p&=vi=2VI\sin\omega t\sin(\omega t-\varphi)\\
\end{align}

ここで STEP2 で作った \(\sin\alpha\sin\beta\) の積和を使い、積を和に直します。\(\alpha=\omega t\)、\(\beta=\omega t-\varphi\) と見ると、和と差はそれぞれ \(\alpha+\beta=2\omega t-\varphi\)、\(\alpha-\beta=\varphi\) です。

\begin{align}
p&=2VI\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\left\{\cos(2\omega t-\varphi)-\cos\varphi\right\}\\
&=VI\cos\varphi-VI\cos(2\omega t-\varphi)\\
\end{align}

第2項は角周波数 \(2\omega\) で振動する成分なので、1周期で平均すると0になります。残った第1項が有効電力です。

\begin{align}
P&=VI\cos\varphi\\
\end{align}

三角関数の積が出てきたら、積和で「和」に直すと時間平均が一瞬で取れる——これが積和の公式の一番おいしい使いどころです。積のままでは平均が取りにくいものが、和にした途端に「振動成分は平均0」と即断できるようになります。