電験で微分積分はどこで使う？2種理論の鬼門を「微小区間の考え方」で解く

皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。

電験で微分積分が必要になるのは、ほぼ電験2種からです。3種ではレンツの法則だけ最低限押さえれば足り、2種からはガウスの法則、過渡現象、ビオ・サバールの法則と理論科目に集中して登場します。

ただし、すべての公式を丸暗記する必要はありません。鍵となるのは「微小区間の考え方」。これさえ押さえれば、ほとんどの単元は同じ思考パターンで処理できるようになります。

ケンタ

１種では行列が登場してきますが、それはまたの機会に

この記事では、まず3種・2種・エネ管別に微積分が登場する単元を整理し、続いて頻出パターンの「微小区間→積分」と「微分⇔積分の行き来」を図解で解説します。

電験2種で微分積分が必要な単元【一覧】

電験2種一次試験で微積分が出てくる単元を、科目別にまとめました。「微小区間→積分」と書いてある単元は、微小区間の立式（後述）をしてから、それを拡張・積分して計算する単元です。

理論（最重要・出題集中）

1. ガウスの法則（微小区間→積分）
2. 非柱状抵抗（微小区間→積分）
3. 過渡現象（微分方程式）
4. ビオ・サバールの法則（微小区間→積分）
5. アンペールの周回積分（実際に線路積分をすることはないですが、微小区間→積分）

電験2種で理論が鬼門と言われるのは、これだけ微積分が密集しているからです。逆に言えば、微積分の使い方さえ整理できれば、理論は一気に楽になります。

電力（1単元のみ）

1. 配電路の電力ロス（微小区間→積分）

機械（制御と温度上昇）

1. 制御、ラプラス変換（積分、微分方程式）
2. 変圧器の温度上昇試験（微分方程式）

電験3種では微積分は「レンツの法則」だけでOK

電験3種では微積分が登場する単元は限られます。強いて挙げるならばレンツの法則です。

\begin{align}
V&=-\large{N}\frac{\mathrm{d}\varPhi}{\mathrm{d}t}\\
\end{align}

という式です。

微分は変化速度を表しますので、「磁束の変化を妨げるように電圧が発生する」という現象から立式することができます。式をそのまま覚えてもいいのですが、コイルに磁石を近づけると電圧が発生するという現象だけイメージで持っておくと、その場で立式できるようになります。

電験で必要な微積分のエッセンスは「微小区間の考え方」

電験2種では、微小区間の考え方ができているかが何より重要になります。微小区間さえ立式できれば、あとは積分するだけ。出てくる積分公式

\begin{align}
\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x}&=\log_\mathrm{e} x+C\\
\end{align}

などはもう覚えるしかありませんが、種類は限られます。

① 微小区間→積分：面積で理解する

以前のパワエレの記事で以下のような説明をしました。

ケンタ

ちなみに積分とは、微小面積\(\sqrt{ 2 }E\sin\theta \times \mathrm{d}\theta\)（\(\mathrm{d}\)は微小の意味）を積分区間にわたって、足していくようなものです。\(\displaystyle \sum \sqrt{ 2 }E\sin\theta \mathrm{d}\theta\)と書いた方がイメージしやすいかもしれません。

概念図を使ってもう少し詳しく説明していきます。よく見る公式

\begin{align}
\displaystyle \int_{ \alpha }^{ \beta } f(x)\mathrm{d}x&=F(\alpha)-F(\beta)\\
\end{align}

の値はグラフで言うと以下の黄色の面積に相当します。

この公式の中にある\(f(x)\mathrm{d}x\)とは微小面積を表していて、次の図にある細長い長方形に相当します。

この微小面積を積分区間に渡って足していく、つまり\(\displaystyle \int_{ \alpha }^{ \beta }\)していくことになります。

② 3次元への応用：球の体積を「玉ねぎ」で求める

この考え方は3次元にも応用できます。球の体積を求めるときにも使えます。球を輪切りにした断面で説明していきます。

球の中心から\(r\)離れたところにある、微小体積\(\mathrm{d}V\)は表面積\(4\pi r^2\)を使って\(表面積\times \mathrm{d}r\)と表せます。これを\(0\)から球の半径\(a\)まで積分していくと球の体積を求められます。「玉ねぎ」みたいな計算をしているイメージです。

つまり

\begin{align}
\mathrm{d}V&=4\pi r^2 \mathrm{d}r \\
\displaystyle \int_{ 0 }^{ a } \mathrm{d}V&= \displaystyle \int_{ 0 }^{ a } 4\pi r^2 \mathrm{d}r\\
V&=\frac{4}{3}\pi a^3\\
\end{align}

となります。

逆に、球の体積\(V\)を微分すると表面積を求められます。

\begin{align}
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\\
&=4\pi r^2\\
\end{align}

③ 微分⇔積分の行き来：加速度・速度・距離

エネルギー管理士では速度や加速度の問題が頻繁に出題されます。これも微積分の考え方を使うと、各公式を個別に覚えなくて済みます。

加速度・速度・距離は、時間\(t\)をパラメータとした微分⇔積分の関係にあります。これは単位から見ても感覚的に分かるかと思います。

\begin{align}
a&=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\
\end{align}

ですので、単位だけの式で見ると

\begin{align}
\frac{m}{s^2}&=\frac{1}{s}\times \frac{m}{s}\\
\end{align}

となります。

ケンタ

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\)の\(\mathrm{d}\)とは「微小な」という意味ですので無次元となります。定数と同じということですね。

そこで、加速度\(a\)（定数）を起点として、\(t\)で積分をしていくと距離の公式を導出できます。

エネルギー管理士でも使う：運動方程式と回転方程式

運動方程式

\begin{align}
m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}&=F\\
\end{align}

を覚えている方は、

置き換えることで、回転方程式

\begin{align}
J\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}&=T\\
\end{align}

を作ることができます。

そもそも回転方程式とは、剛体の回転を表す方程式です。運動方程式で使っていたパラメータを回転時のパラメータに置き換えれば、自然に回転方程式が組み立てられます。

ケンタ

「剛体」の対義語に「質点」があります。質点とは質量のある点のことで、大きさがありません。質点を扱うときは運動方程式だけ考えればOK。剛体は変形しない大きさ・質量のある物体なので、運動と回転の両方を考える必要があります。

回転における力に相当するパラメータはトルクです。トルクの単位はN・mで、同じ力でも作用点との距離が遠くなるほど大きくなり、「てこ」を上手に表現した物理量になります。

回転における速度は角速度に相当します。これは違和感が少ないかと思います。

最後に慣性モーメントについて。重いものが小さな力では動きにくいように、慣性モーメントが大きいと、回転しにくくなります。これは公式からもわかります。\(T\)が一定のとき、\(J\)が大きくなると角加速度（\(\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\)）が小さくなる、つまり角速度の加速が悪くなります。

微積分が苦手な人へ：押さえるのは2つの考え方

ここまで読んで「公式が多くて無理」と感じた方へ。電験の微積分で押さえるべき”考え方”は、突き詰めると次の2つに集約されます。

あとは積分公式を数個（\(\int \frac{1}{x}dx = \log x + C\) など）覚えるだけ。個別の単元ごとに丸暗記するより、この2パターンの理解に時間を投資した方が応用が利きます。理論科目で詰まる方は、ここから手をつけてみてください。

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まとめ：微積分は「現象を式にする道具」

高校では数学で微積分を教え、物理では微積分を使わずに現象を説明します。対して電験では、現象を微積分で表せるようになっておくと、覚える公式の数が一気に減ります。

とくに電験2種理論で詰まっている方は、ガウスの法則・ビオサバール・過渡現象を「微小区間→積分」「微分⇔積分の行き来」の枠で捉え直してみてください。手応えが変わるはずです。

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