ラプラス変換で解く過渡現象

皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。

Twitterや2chでは合格・不合格の阿鼻叫喚となっていますね。

土日の試験問題と解答が既に試験センターでアップされていますので、私も見る気になれば見れます。が、翔泳社が試験解説を今月中に行うという情報を仕入れましたので、私の出る幕はないかと思います。餅はより美味しい餅屋に、ということですね笑

（翔泳社の解説を見た上でわからないところがありましたらコメント下さい。私なりに調べて噛み砕いて解説してみます。こうやって書いていると翔泳社の方に怒られますかね汗）

さて、今回は前回に引き続き「過渡現象」です。

内容的に今回で書きたいのを出し切りそうなので、今回が完結編となります。

ラプラス変換とは

ラプラス変換は電験１・２種二次試験の制御問題で頻出の計算手法です。

モーターの出力制御などは感覚的には時間領域$t$の話ですが、

というようなことをしています。

なぜ、$t$空間の中でそのまま計算をしないのかというと、答えは簡単、計算が面倒くさいからです。

過渡現象にラプラス変換を適応できる理由皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。 当ブログでは「ラプラス変換を使って過渡現象を解ける」という...

どのくらい面倒なのか

$t$空間の中でそのまま計算をする場合は、微分方程式を解く必要があります。

対して、$s$空間の中では、$t$空間で２階の微分方程式だった場合は、２次方程式を解くだけです。

どれだけ簡単かは一目瞭然ですね。

このように微分方程式を使うときは、同時にラプラス変換も覚えておくと時間の省略ができます。感の良い方なら察し始めているでしょうが、微分方程式を使う過渡現象でもラプラス変換を使うと計算がかなり簡単になります。

RLC直並列回路で例題

前回の記事ではこの微分方程式を

$$\begin{array}{rl}L\frac{\mathrm{d}{I}_1}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{C}\int I_1\mathrm{d}t& =R{I}_2=E\end{array}$$

と説明しました。

この式をきちんとラプラス変換をすると、

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{Cs}{I}_1(s)+Ls{I}_1(s)& =R{I}_2(s)=\frac{E}{s}\end{array}$$

となります。

ラプラス変換の解答集ができました皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。 少し前に、「ラプラス変換で新制度（平成7年度）以降の過渡現...

このやり方ですと、一度微分方程式を立てなければならないので、結構めんどくさいです。

私の場合は、$s$回路を作ってから、それについてオームの法則に代入していきます。

どういうことかといいますと、先ず一度図を書き換えます。

次に、交流回路のように式を立てます。

$$\begin{array}{rl}I(s)\times \frac{(\frac{1}{Cs}+Ls)R}{(\frac{1}{Cs}+Ls)+R}& =\frac{E}{s}\end{array}$$

あとは解いて終わりです。（下の方のおまけで最後まで計算します。）

まとめ

苦手意識を持っている人が多い過渡現象でも、ラプラス変換を知っていると微分方程式ほどではない計算量で済みます。

どちらも同じくらい面倒と感じるかもしれませんが、（パワエレを選ばない限り）ラプラス変換は２次試験で必須ですので、微分方程式の複数の解法を新たに覚えるよりかは幾分楽かと思います。

というか、私は一次試験理論の過渡現象のところでラプラス変換をマスターしました。ですので、二次試験の機械・制御の準備では、同期機・誘導機・変圧器の問題に集中することができていました。（取り掛かる順番の話なだけですが）

複雑な回路の過渡現象をラプラス変換で解く！皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。 少し前に、ラプラス変換で過渡現象を解くと計算が捗るという記...

おまけ

紙を使って下書きしたときはすぐに計算をし終えたのですが、ブログに数式を書くとなると時間がかかりそうですね笑　でも書いていきます！

$$\begin{array}{rl}I(s)\times \frac{(\frac{1}{Cs}+Ls)R}{(\frac{1}{Cs}+Ls)+R}& =\frac{E}{s}\\ I(s)& =\frac{(\frac{1}{Cs}+Ls)+R}{(\frac{1}{Cs}+Ls)R}\frac{E}{s}\\ & =(\frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{1}{Cs}+Ls})\frac{E}{s}\\ & =\frac{E}{Rs}+\frac{E}{L}\frac{1}{s^2+\frac{1}{LC}}\\ & =\frac{E}{Rs}+\sqrt{\frac{C}{L}}E\frac{\frac{1}{\sqrt{LC}}}{s^2+\frac{1}{LC}}\\ & \underrightarrow{{\mathcal{L}}^{-1}}\frac{E}{R}+\sqrt{\frac{C}{L}}E\sin \frac{t}{\sqrt{LC}}\end{array}$$

多分これで合ってます。

$LC$を流れる電流分が振動するんですね。

ラプラス変換をしてみて感じたのですが、今回は元の回路図が簡単なせいか微分方程式を解いても同じくらいの計算量になるかもしれません笑

もう少し複雑な回路にすれば、ラプラス変換の方が計算量的にも楽になってくるのが実感できましたね！失敗です。

それでは次回！

「電験２種 過渡現象をラプラス変換で解く29年間 2024年版」のご紹介電験２種一次試験の過渡現象を煩雑な微分方程式ではなく、簡易なラプラス変換で解説しています。本書を理解することで、電験２種二次試験の自動制御だけではなく、電験１種一次試験の過渡現象にも対応できるようになります。...

ラプラス変換をしてみて感じたのですが、今回は元の回路図が簡単なせいか微分方程式を解いても同じくらいの計算量になるかもしれません笑

もう少し複雑な回路にすれば、ラプラス変換の方が計算量的にも楽になってくるのが実感できましたね！失敗です。

それでは次回！