計算結果と選択肢の文字式を一致させる簡単な方法

計算結果と選択肢の文字式を一致させる簡単な方法

皆さまお疲れ様です。

文字を使った計算をしているときは、『自分の不格好な計算結果からどのようにして正解の選択肢を見つけるか』というところで悩む方が多いかと思います。この手の悩みは特に電験2種一次試験理論で抱くことが多いですよね。もちろん私もそのうちの1人でした。

今回はこれにまつわる私のテクニックを紹介しようと思います。

例題として使用する問題について

今回の説明に使用する問題は、電験2種一次試験理論の平成13年度のコンデンサ問題です。

完全マスターであればP50に、電験二種計算の攻略であればP9に掲載されています。

この問題の最後について、参考書をお持ちでなくても分かるように、要所のみを取り上げて説明していきます。

普通に解くと、、、

私が解く場合でも同じような結果となるのですが、最後の合成コンデンサ$C_0$を求めるところでは、私の中での計算は

\begin{align}C=4\pi\epsilon_0\epsilon_s\frac{ab(a+t)}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}\\ \end{align}

で終わります。

しかし、選択肢に↑と同じ形をしたものがありませんので、あと何回か式変形をする必要があります。

計算結果からどのようにして正解の選択肢を見つけるか?

ざっくり言うと、選択肢の頭から自身の計算結果に近い形のものを探していき、それっぽい選択肢を見つけたそばから、自身の計算結果を変形させていきます。

近い形かどうかの判断基準

また、計算結果に登場してこない文字が含まれている選択肢は、最初から除外します。今回で言うと$Q$です。

次に、自身の計算結果の中で、多項式となっていない部分の因子に着目します。

多項式とは$a+b$や$a-b$のように、和差で表された式のことです。

今回は

\begin{align}4\pi\epsilon_0\epsilon_s\times ab\\ \end{align}

の部分がそうです。計算間違いが無い限り、正解の選択肢にはこの因子が部分的にでも入っているはずです。

部分的としているのは、約分の関係で一部選択肢に素直な形で現れてこないからです。先にネタバレしてしまいますが、今回は一部の因子が分母の中にある分数の分母に登場してきます。

$Q$が含まれない選択肢は?

(ヌ)

\begin{align}\frac{4\pi\epsilon_0\epsilon_s ab(1+\frac{t}{a})}{(b-a)-(1-\frac{b}{\epsilon_s a})t}\\ \end{align}

と、

(ル)

\begin{align}\frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_s ab(1+\frac{t}{a})}{(b-a)-(1-\frac{b}{\epsilon_s a})t}\\ \end{align}

と、

(ワ)

\begin{align}\frac{4\pi\epsilon_0}{\log_{e}\frac{b}{a+t}-\frac{1}{\epsilon_s}\log_{e}\frac{b+t}{a}}\\ \end{align}

でした。

計算結果には自然対数が登場してこないので、(ワ)はあり得ないです。

ということで、$4\pi\epsilon_0\epsilon_s\times ab$が部分的に含まれている(ヌ)か(ル)が正解の選択肢となりそうです。計算結果を変形してみましょう。

計算結果の更なる式変形

ここまでで、単項式が部分的に一致していることがわかりましたので、一致していなかった$\epsilon_s$を消し込みます。具体的には、分母・分子を$\epsilon_s$で割ります。

\begin{align}& 4\pi\epsilon_0\epsilon_s\frac{ab(a+t)}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}\\
&=\frac{4\pi\epsilon_0\epsilon_s ab(a+t)}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}\\
&=\frac{4\pi\epsilon_0 ab(a+t)}{a[b-(a+t)]+\frac{bt}{\epsilon_s}}\\
\end{align}

次に、多項式を選択肢に変形させていきます。多項式の中でも最も単純なところに注目します。今回で言うと、分子です。分母・分子を$a$で割って

\begin{align}& \frac{4\pi\epsilon_0 ab(a+t)}{a[b-(a+t)]+\frac{bt}{\epsilon_s}}\\
&=\frac{4\pi\epsilon_0 ab(1+\frac{t}{a})}{b-(a+t)+\frac{bt}{\epsilon_s a}}\\
\end{align}

ここまで来ると、あとは分母を整理するだけです。分母をtとt以外に整理すると

\begin{align}& \frac{4\pi\epsilon_0 ab(1+\frac{t}{a})}{b-(a+t)+\frac{bt}{\epsilon_s a}}\\
&=\frac{4\pi\epsilon_0 ab(1+\frac{t}{a})}{(b-a)-(1-\frac{b}{\epsilon_s a})t}\\
\end{align}

となります。

したがって、(ヌ)が正解の選択肢となります。

もう1つの方法

ここまでの説明は数学的に厳密な方法でしたが、試験場ではそんな優雅なことをやっていられませんので、数学的なお作法を無視した方法も紹介します。もしかしたら、こっちの方が実用的かもしれません笑

先ず、自身の計算結果が

\begin{align}C=4\pi\epsilon_0\epsilon_s\frac{ab(a+t)}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}\\ \end{align}

で同じだったとして、使っている文字が似ていることから直感で(ヌ)が怪しいと感じた場合は、計算結果と(ヌ)を等号で結びます。そして、両辺を整理していって$1=1$となれば、計算結果と(ヌ)は結果的に等しかったということになります。

等しいかどうか分からない量同士を等号で結ぶことが、数学的におかしいです。
\begin{align}4\pi\epsilon_0\epsilon_s\frac{ab(a+t)}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}=\frac{4\pi\epsilon_0 ab(1+\frac{t}{a})}{(b-a)-(1-\frac{b}{\epsilon_s a})t}\\ \end{align}

両辺に登場してくる同じ文字を消去していきます。先ずは$4\pi\epsilon_0 ab$ですかね。

\begin{align}\epsilon_s\frac{a+t}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}=\frac{1+\frac{t}{a}}{(b-a)-(1-\frac{b}{\epsilon_s a})t}\\ \end{align}

次は、右辺の分母の中に分数があるのが気になるので、右辺の分母・分子に$\epsilon_sa$をかけます。

\begin{align}\epsilon_s\frac{a+t}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}=\frac{\epsilon_s(a+t)}{\epsilon_s a(b-a)-(\epsilon_s a-b)t}\\ \end{align}

そうすると、両辺に$\epsilon_s(a+t)$が出てきますので、それを消します。

\begin{align}\frac{1}{\epsilon_s a[b-(a+t)]+bt}=\frac{1}{\epsilon_s a(b-a)-(\epsilon_s a-b)t}\\ \end{align}

最後は、両辺の分母内の全て(  )を外してみると、

\begin{align}\frac{1}{\epsilon_s ab-\epsilon_s a^2-\epsilon_s at+bt}=\frac{1}{\epsilon_s ab-\epsilon_s a^2-\epsilon_s at+bt}\\ \end{align}

となり、両辺が等しくなるので、両辺に$\epsilon_s ab-\epsilon_s a^2-\epsilon_s at+bt$をかけて

\begin{align}1=1\\ \end{align}

となります。したがって、(ヌ)が正解の選択肢となります。

まとめ

試験会場で計算結果を選択肢に合わせようとするのは、意外と落ち着いてできないものです。変形していってどこかで計算ミスして、結果的にどの選択肢にも合わないという事態になる可能性もなくはないです。

こればかりは場数を踏むしか無いですが、おまけで書いたもう1つの方法の方がしっくり来る方は、そちらも試してみてはいかがでしょうか。記述式でない限りこの方法はとても有効です。

それでは次回!