外積の向きは右ねじで決まる｜フレミングの左手・右手の法則を右ねじの法則1つで済ませる【電験】

皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。

電験の電磁気学には覚える公式がたくさんあります。そのうえ地味に面倒なのが、公式で計算した量のベクトルの向きまで覚えなければならないことです。

向きは「フレミングの左手の法則」で対処できますが、「フレミングの右手の法則」もあり、どちらの手を使うかで混乱しやすいところです。私はこの向きを「右ねじの法則」1つで全部済ませています。

結論から言うと、外積 \( \vec{a}\times\vec{b} \) の向きは、\( \vec{a} \) から \( \vec{b} \) へ右ねじを回したときにねじが進む向きです。電磁力・ローレンツ力・誘導起電力はどれも外積で書ける量なので、右ねじを回す順番さえ覚えれば左手か右手かで迷うことはなくなります。

こうした「まとめて覚える」解き方は、電験王さんと私で作った「過去問徹底解説」でも多数紹介しています。当ブログのオペアンプをまとめて覚える方法も同じ考え方で書いた記事です。

ケンタ

フレミングを使い慣れていないので、「フレミングの○○の法則」の右手か左手かを答える問題では、いまだに少し考え込んでしまいます。

外積の向きは右ねじで決まる

いきなり専門用語を出してすみません。電磁気学の公式の向きを説明するのに外積の考え方が必要なので、少し寄り道します。

ベクトルの内積（外積と区別するために）

電験でベクトルの内積を計算することはまずありません。説明を省いてもよいのですが、外積と名前が似ているので、違いを押さえるために一応触れておきます。

\( \vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \) と \( \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) \) が与えられているとき

\begin{align}\vec{a}\cdot\vec{b}&=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)\\ &=a_1 b_1+a_2 b_2\end{align}

を内積と言います。内積は

\begin{align}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\end{align}

とも書けるので、\( \vec{a} \) を力、\( \vec{b} \) を移動距離とすれば、\( \vec{a}\cdot\vec{b} \) は力がした仕事を表します。

覚えておいてほしいのは、ベクトル同士の内積はスカラー量になるということだけです。

ベクトルの外積

ベクトルの外積は、\( xyz \) の3次元空間で登場する考え方です。

たとえば \( xy \) 平面内に \( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) があるとき、2つのベクトルの外積 \( \vec{a}\times\vec{b} \) は、図のように \( z \) 軸方向のベクトル \( \vec{c} \) になります。成分の計算は内積よりかなり面倒なので省略しますが、外積の計算結果はベクトル量になります。

外積で押さえるのは次の2点です。

ここで「右ねじの法則」が登場します。この記事で一番伝えたいのは、外積の向きが右ねじで決まるという1点です。

平行四辺形の面積は一般には求めるのが面倒ですが、\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) が直交していれば長方形になるので簡単です。上図の場合、\( \vec{c} \) の大きさは \( |\vec{a}||\vec{b}| \) となります。

電磁気学の公式は外積をスカラーで書いたもの

外積の3本のベクトルの関係を表した図は、どこかで見たことがあると思います。そうです、フレミングの法則の図とそっくりです。

電験の電磁気学に出てくる力や起電力の公式は、もともと外積で書かれていたものを、大きさだけのスカラーで書いたものです。

\( F=qvB \) は \( \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B} \) を書き直したもの

磁界中を動く電荷に働く力（ローレンツ力）の \( F=qvB \) を例に、公式を外積の形に戻す方法を説明します。

\( F=qvB \) のうちベクトル量（方向のある量）は、力 \( F \)、速度 \( v \)、磁束密度 \( B \) です。これらをベクトルに戻し、ベクトルとベクトルの間に「\( \times \)」を入れます。

\begin{align}\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\end{align}

\( \vec{F} \) の向きは、\( \vec{v} \) から \( \vec{B} \) の向きに右ねじを回したときに、ねじが進む向きです。

私は試験会場で毎回シャーペンを右ねじに見立て、\( \vec{v} \) の向きから \( \vec{B} \) の向きへ回してみています。そのうえで、ねじがどちらへ進むかを想像します。

注意してほしいのは文字の順番です。順番を入れ替えるとベクトルの向きが逆になるので、外積を意識した順番で覚えてください。スカラー量（\( q \) のような定数倍）は式のどこに置いても構いません。

フレミングの左手・右手の法則も同じ外積

電験の参考書に載っている範囲の公式は、次の順番で覚えておけば向きまで決まります。右ねじを回す順番は、3つとも「動いているもの（電荷・電流・導体）から磁束密度 \( \vec{B} \) へ」です。

電磁力は、導体の中を流れる電流（動いている電荷）にローレンツ力が働いたものです。誘導起電力は、導体ごと動かされた中の電荷にローレンツ力が働き、導体に沿って押し出されたものです。左手と右手で別の法則に見えますが、どちらも同じ \( q\vec{v}\times\vec{B} \) を指に置き換えたものです。

私は高校生のときからこの順番で口に出して覚えていたので、今でもすぐに出てきます。

\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) が斜めのときは \( ab\sin\theta \)

電験の問題では、\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角 \( \theta \) が与えられることがあります。

そのときは

\begin{align}c=ab\sin\theta\end{align}

と計算しますが、外積の考え方でこの式の意味を説明してみます。

\( \vec{b} \) に平行な \( \vec{a} \) の成分（\( a\cos\theta \)）は、\( \vec{b} \) に向かってそれ以上右ねじを回せないので、\( \vec{c} \) の大きさには効きません。

一方で、\( \vec{b} \) に垂直な \( \vec{a} \) の成分（\( a\sin\theta \)）だけが \( \vec{b} \) に向かって右ねじを回すことができ、\( \vec{c} \) の大きさに効きます。その大きさは長方形の面積と等しく

\begin{align}c=ab\sin\theta\end{align}

となります。

もう少し数学的な見方

平行四辺形の面積を \( ab\sin\theta \) と計算している、と解釈しても同じ結果になります。

ケンタ

\( b \) を底辺と見ると、\( a\sin\theta \) が高さになるからです。

実際の出題で確かめる

平行に置いた2本の導体に流れる電流が、お互いに及ぼす力の向きを問う問題で試してみます。フレミングの左手を使わず、右ねじだけで答えが出ます。

令和6年度下期 理論 問4（平成22年度 問4の再出題）

導体A（左）と導体B（右）が \( x \) 方向に並び、両方に同じ大きさの電流 \( I \) が \( +y \) 方向（紙面の表から裏へ）に流れています。座標は \( x \) が右、\( z \) が上です。各導体に働く力の向きを選ぶ問題です（問題の図は上の解説ページで確認できます）。

導体Aに働く力を、右ねじを2回使って求めます。

導体Bも同じ手順で \( -x \) 方向（導体A側）となり、同じ向きの電流どうしは引き合うことが確かめられます。正解は(2)の「導体A：\( +x \) 方向、導体B：\( -x \) 方向」です。

まとめ

外積の成分計算は面倒ですが、電験で出題されることはないので覚えなくて大丈夫です。覚えるのは右ねじを回す順番だけで、そこから電磁力の向きも誘導起電力の向きも出せます。

単純暗記は省エネでやっていきましょう。引き続き当ブログをよろしくお願いいたします！

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