複素電力の求め方｜共役はVとIのどっちに付ける？無効電力の符号で決まる公式の使い分け【電験】

皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。

複素電力とは、皮相電力を複素数で表したものです。実部が有効電力 \( P \)、虚部が無効電力 \( Q \) になり、電圧と電流のどちらか一方だけを共役にして掛けると求められます。

\begin{align}\dot{S}&=\overline{\dot{V}}\dot{I}=P+\mathrm{j}Q\end{align}

\begin{align}\dot{S}&=\dot{V}\overline{\dot{I}}=P+\mathrm{j}Q\end{align}

公式が2つあるので、共役を \( \dot{V} \) と \( \dot{I} \) のどっちに付けるかで迷うところです。結論から言うと、共役を付けていないほうの量が進んでいるとき、無効電力 \( Q \) が正になります。この記事では、この決め方を図から導く手順と、電験2種の二次試験での使われ方を整理します。

ケンタ

ここで紹介する決め方は、勉強していたときに手持ちの参考書に詳しく載っていなかったため、自分で編み出した整理です。エネルギー管理士から電験1種まで、矛盾なく使えていました。

説明にはベクトル図とフェーザ表示を使います。途中で補足を入れながら進めますので、慣れていない方もそのまま読み進めてください。

共役はどっちに付ける？角度の符号が反転するほうで決まる

共役を取ると、フェーザの角度は符号が反転します。\( \dot{V}=V\angle\theta_{\mathrm{V}} \) なら \( \overline{\dot{V}}=V\angle(-\theta_{\mathrm{V}}) \) です。

そのため2つの量を掛けた結果の角度は、「共役を付けていないほうの角度」から「共役を付けたほうの角度」を引いたものになります。覚えるのはこの1点だけで、2つの公式の違いはここから出てきます。

問題文が「遅れ無効電力を正とする」と指定していれば \( \dot{V}\overline{\dot{I}} \)、「進み無効電力を正とする」なら \( \overline{\dot{V}}\dot{I} \) を使います。指定がなければどちらを使っても構いません。その理由は最後の節で説明します。

パターン１：進相条件なら \( \overline{\dot{V}}\dot{I} \)

上図のように電圧 \( \dot{V} \) と電流 \( \dot{I} \) があったとき、\( \dot{I} \) のほうが \( \dot{V} \) の反時計方向に位置していますので、進相条件にあると言えます。

このようなときは \( \overline{\dot{V}}\dot{I} \) を使って皮相電力を計算します。\( \dot{V}\overline{\dot{I}} \) と迷ったら、進んでいる \( \dot{I} \) から遅れている \( \dot{V} \) の角度を引いて、位相差 \( \theta \) を正の値で作れるほうを選びます。フェーザ表示で計算すると確かめられます。

\begin{align}\overline{\dot{V}}\dot{I}&=V\angle (-\theta_{\mathrm{V}}) \times I\angle \theta_{\mathrm{I}}\\&=VI\angle (\theta_{\mathrm{I}}-\theta_{\mathrm{V}})\\&=VI\angle \theta\end{align}

続けると

\begin{align}VI\angle \theta&=VI(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta)\\&=P+\mathrm{j}Q\end{align}

となり、実部の \( VI\cos\theta \) が有効電力、虚部の \( VI\sin\theta \) が無効電力です。

この図は進相条件ですので、\( \overline{\dot{V}}\dot{I}=P+\mathrm{j}Q \) の無効電力 \( Q \) は進相が正となります。

複素計算をした結果、虚部が負となった場合は、遅相無効電力が発生していることになります。つまり、そもそもは遅相条件だったということです。

パターン２：遅相条件なら \( \dot{V}\overline{\dot{I}} \)

次は、上図のような遅相条件にあるときです。今度は進んでいるのが \( \dot{V} \) なので、\( \theta_{\mathrm{V}}-\theta_{\mathrm{I}} \) となるように \( \dot{I} \) のほうに共役を付けます。

\begin{align}\dot{V}\overline{\dot{I}}&=V\angle \theta_{\mathrm{V}} \times I\angle (-\theta_{\mathrm{I}})\\&=VI\angle (\theta_{\mathrm{V}}-\theta_{\mathrm{I}})\\&=VI\angle \theta\\&=VI(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta)\\&=P+\mathrm{j}Q\end{align}

この図は遅相条件ですので、\( \dot{V}\overline{\dot{I}}=P+\mathrm{j}Q \) の無効電力 \( Q \) は遅相が正となります。

複素計算をした結果、虚部が負となった場合は進相無効電力が発生していることになります。つまり、そもそもは進相条件だったということです。

例題：2つの公式で複素電力を求めて比べる

\begin{align}\dot{V}&=5+\mathrm{j}2\ \mathrm{[V]}\\ \dot{I}&=3+\mathrm{j}\ \mathrm{[A]}\end{align}

と与えられていたとき、

\begin{align}\overline{\dot{V}}\dot{I}&=(5-\mathrm{j}2)(3+\mathrm{j})\\&=17-\mathrm{j}\end{align}

となりますので、有効電力は \( 17\ \mathrm{W} \) です。進相を正とする式で虚部が負値になったので、この無効電力は遅相無効電力で、大きさは \( 1\ \mathrm{var} \) です。

念のため、もう一方の式で計算してみても

\begin{align}\dot{V}\overline{\dot{I}}&=(5+\mathrm{j}2)(3-\mathrm{j})\\&=17+\mathrm{j}\end{align}

となり、遅相を正とする式で \( +1 \) なので、やはり同じ結果になります。

進み・遅れの判断だけなら複素計算は要らない

進相か遅相かの判断だけであれば、図からの導出→複素計算という手順を踏まずにできます。電圧の実部に合わせるように電流を実数倍してみると、

\begin{align}\frac{5}{3}\dot{I}&=5+\mathrm{j}\frac{5}{3}\ \mathrm{[A]}\end{align}

となります。この虚部 \( \frac{5}{3} \) は電圧の虚部 \( 2 \) より小さいため、電流は電圧のベクトルより下側（時計方向）にあり、遅相条件と分かります。

正の数を掛けてもベクトルの向きは変わらないので、電圧と電流の実部がどちらも正であれば、この比べ方で判断できます。

電験2種以降では \( P \) と \( Q \) から電流を求める形で出る

電験2種以降では、\( \overline{\dot{V}}\dot{I} \) や \( \dot{V}\overline{\dot{I}} \) の複素計算そのものを問う問題はほとんど出てきません。エネルギー管理士では平成27年度 課目Ⅱの問題4(1)に出題されていましたが、電験2種以降では稀です。

よくあるのは、文字または数字で与えられている \( P \) と \( Q \) を使って、電流 \( \dot{I} \) を求める形です。公式を逆向きに使うわけです。

ケース１：進相無効電力を正とする場合

\( Q \) を正の進相無効電力とすると、\( \overline{\dot{V}}\dot{I} \) の式を使って

\begin{align}\overline{\dot{V}}_{\mathrm{r}}\dot{I}_{\mathrm{r}}&=P+\mathrm{j}Q\\ \dot{I}_{\mathrm{r}}&=\frac{P+\mathrm{j}Q}{\overline{\dot{V}}_{\mathrm{r}}}\end{align}

大抵の場合、\( \dot{V}_{\mathrm{r}} \) をベクトルの基準とするので、\( \dot{V}_{\mathrm{r}}=V_{\mathrm{r}}\angle 0^{\circ}=V_{\mathrm{r}} \) となり、共役を取っても値が変わりません。つまり、

\begin{align}\dot{I}_{\mathrm{r}}&=\frac{P+\mathrm{j}Q}{V_{\mathrm{r}}}\end{align}

で \( \dot{I}_{\mathrm{r}} \) を計算できます。この式に遅相無効電力を代入したい場合は、負値として \( Q \) に代入します。そうすれば \( \dot{I}_{\mathrm{r}} \) の虚部も負値となり、電流が電圧より遅れていることと一致します。

↑のようなベクトル関係になります。

ケース２：遅相無効電力を正とする場合

\( Q \) を正の遅相無効電力とすると、\( \dot{V}\overline{\dot{I}} \) の式を使って

\begin{align}\dot{V}_{\mathrm{r}}\overline{\dot{I}}_{\mathrm{r}}&=P+\mathrm{j}Q\\ \overline{\dot{I}}_{\mathrm{r}}&=\frac{P+\mathrm{j}Q}{\dot{V}_{\mathrm{r}}}\\ \dot{I}_{\mathrm{r}}&=\frac{P-\mathrm{j}Q}{\overline{\dot{V}}_{\mathrm{r}}}\end{align}

となります。最後の行では、両辺の共役を取ったので分子だけでなく分母も共役になっています。ケース１と同様に \( \dot{V}_{\mathrm{r}} \) を基準とすれば、\( \dot{I}_{\mathrm{r}}=\dfrac{P-\mathrm{j}Q}{V_{\mathrm{r}}} \) で計算できます。

この式に遅相無効電力を代入したい場合は、正値のまま \( Q \) に代入します。\( \dot{I}_{\mathrm{r}} \) の虚部は負値となり、やはり電流が電圧より遅れていることと一致します。

実際の出題で確かめる

ケース２の式は、電験2種の二次試験でそのまま使われています。マイナスの無効電力が与えられても、符号ごと代入すれば進み・遅れが自動で合うことを確かめます。

平成18年度 電験2種 二次 電力・管理 問4

オープンループで連系された2つの配電系統の連系開閉器を投入したとき、連系点に流れるループ電流を求める問題です。各系統の末端負荷は次のように与えられ、連系点の電圧は \( 6600\ \mathrm{V} \) です。

問題文が遅れ無効電力を正としているので、使うのはケース２の \( \dot{V}\overline{\dot{I}} \) 側です。三相なので相電圧 \( E_{\mathrm{r}}=\dfrac{6600}{\sqrt{3}} \) を基準にとり、\( P+\mathrm{j}Q=3\dot{E}_{\mathrm{r}}\overline{\dot{I}} \) から

\begin{align}\dot{I}_{\mathrm{A}}&=\frac{(1350-\mathrm{j}654)\times10^{3}}{3\times\dfrac{6600}{\sqrt{3}}}≒118.1-\mathrm{j}57.2\ \mathrm{[A]}\\ \dot{I}_{\mathrm{B}}&=\frac{(900+\mathrm{j}436)\times10^{3}}{3\times\dfrac{6600}{\sqrt{3}}}≒78.7+\mathrm{j}38.1\ \mathrm{[A]}\end{align}

B系統は \( Q=-436 \) を代入したので分子の符号が反転し、電流の虚部が正（進み電流）になりました。「遅れ無効電力がマイナス」＝「進み」を、式が勝手に処理してくれるわけです。ここから先はループ電流の計算に進みますが、複素電力の出番はここまでです。

結局どちらの公式を使えば良いのか

進相条件だから、遅相条件だからと書いてきましたが、負値をそのまま代入すれば最終的にはどちらでも対応できるので、好きな方を使って問題ありません。

個人的には、送電の問題では電流が遅れることが多いので遅相条件の式をよく使っていました。問題文に正の向きの指定があるときだけ、それに合わせれば十分です。

気を付けておいてほしいのは、ど忘れしたときのために今回の導出をできるようにしておくことです。暗記してしまうほうが楽だと感じた方はそれで構いませんが、電験2種あたりからは、暗記の容量は論述問題に取っておいたほうが良いと思っています。

ケンタ

まとめ

公式を2つとも暗記しなくても、共役を取ると角度の符号が反転することさえ押さえておけば、その場で作り直せます。

それでは次回！引き続き当ブログをよろしくお願いいたします！

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