右ネジの法則で全て説明できる!?

皆さまお疲れ様です。

電験の電磁気学の分野は覚えなくてはいけない公式がたくさんあります。それに加えて地味に面倒なのが、公式で計算された量のベクトルの向きまでも覚える必要があることです。

このベクトルの向きは『フレミングの左手の法則』とかで対処できるはできるんですが、『フレミングの右手の法則』があったりと、結構混乱するのではないでしょうか。

私は、このベクトルの向きは『右ねじの法則』で全て対応するようにしています。参考書では、『右ねじの法則』は電流とその同心状の磁界の向きにしか使うときがないですが、この法則は拡張性が高くて、実はかなり便利です。便利すぎて電磁力の問題で、『フレミングの○○の法則』の右手か左手かを答えさせるときに、フレミングを使い慣れていないせいで考え込んでしまうほどです笑

それでは説明していきます!

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ベクトルの外積

いきなり専門用語を出してすみません。電磁気学の公式を説明していく上で、必要な考え方ですので、少し寄り道して説明していきます。

ベクトルの内積

電験ではベクトルという概念が登場はするものの、ベクトルの内積は取り扱うことはないです。ということで、説明を省略しても良いのですが、説明したい方の外積と似たような用語ですので、一応説明しておきます。

$\vec{ a }=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right)$と$\vec{ b }=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$が与えられているとき

\begin{align}\vec{ a } \cdot \vec{ b }&=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)\\
&=a_1 b_1+a_2b_2\\ \end{align}

を内積と言います。内積は

\begin{align}\vec{ a } \cdot \vec{ b }&=|\vec{ a }||\vec{ b }|cos\theta\end{align}

という表記もできることから、$\vec{ a }$を力、$\vec{ b }$を距離とすれば、力がした仕事を表します。

この公式の導出は省略しましすが、ベクトルの内積で注意してほしいのは、ベクトル同士を内積するとスカラー量になるということです。というかそもそも出題されませんので、注意しておく必要もないかもしれません笑

スカラー量とは、方向の情報が無い大きさだけの量のことです。一方で、ベクトル量は方向も大きさもある量のことです。

ベクトルの外積

ベクトルの外積は、xyzの3次元空間で登場してくる概念です。

例えば、xy平面内に$\vec{ a }$と$\vec{ b }$が与えられているとき、この2つのベクトルの外積$\vec{ a }\times\vec{ b }$は図のようにz軸方向の$\vec{ c }$と計算されます。計算は内積以上にかなり面倒ですので省略しますが、計算結果はベクトル量になります。

内積と外積で表記が微妙に変わります。内積が$\vec{ a } \cdot \vec{ b }$であるのに対して、外積は$\vec{ a }\times\vec{ b }$と表記されます。

重要なポイントとしては、$\vec{ c }$の向きは$\vec{ a }$から$\vec{ b }$の向きに右ねじを回したときにねじの進む向きであり、その大きさは$\vec{ a }$と$\vec{ b }$からなる平行四辺形の面積と同じになります。

ここでやっと『右ねじの法則』が登場してきます!!ここが今回の記事の最大のポイントです。

平行四辺形の面積は求めるのが面倒ですが、$\vec{ a }$と$\vec{ b }$が垂直であった場合は話が簡単になります。

上図の場合は、$\vec{ c }$の大きさが$|\vec{ a }||\vec{ b }|$となります。

電験の問題でも$\vec{ a }$と$\vec{ b }$のなす角$sin\theta$を使用して、もう一方のベクトルの垂直成分のみを計算をしています。並行成分は右ねじを回せないので、結果として$\vec{c}$のを大きさを増大させるのに寄与しません。
または、平行四辺形の面積を$|\vec{ a }||\vec{ b }|sin\theta$と計算している、と解釈しても間違いではありません。

長々と内積・外積について説明してきましたが

外積のベクトル関係を表した図はどこかで見たことありませんか?そうです、電磁気学の公式は実は外積表記だったものをスカラー表記したものです。つまり、スカラー表記にしたものが電験の参考書で紹介されています。

$F=qvB$ は実は $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$

電験で有名な$F=qvB$を例に、外積に戻す方法を説明していきます。この公式ももとを辿ればベクトルの外積で表記されます。

$F=qvB$のうち、ベクトル量(方向のある量)は力$F$と速度$v$と磁束密度$B$ですので、これらをベクトルに戻してベクトルとベクトルの間には『$\times$』を挿入します。

ということで、$F=qvB$は

\begin{align}\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\\ \end{align}

となります。

この式に登場してくる$q$は、$\vec{v}$と$\vec{B}$からなる長方形の面積を更に$q$倍しているという事になります。

また、$\vec{F}$の向きは$\vec{ v }$から$\vec{ B }$の向きに右ねじを回したときにねじの進む向きとなります。

電荷が負となるときは、右ねじの進む向きと逆転してしまうことに注意してください。

ここで注意してほしいのは、文字の順番です。順番を間違うとベクトルの向きが逆転してしまうので、外積を意識した順番で覚えてください。ちなみに、スカラー量(定数倍)の位置は前後どちらでも構いません。

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その他の公式は?

ということで、電験の参考書に乗っている範囲の公式は、↓の順番で覚えてはいかがでしょうか。

 
スカラー表記
ベクトル表記

誘導起電力
$E=vBl$
$\vec{E}=\vec{v}\times\vec{B}l$
電磁力
$F=IBl$
$\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}l$

あとはこれら公式を呪詛のごとく呟いて覚えるだけです笑

私の場合は高校生の時から呟いていたので、電験が終わって1年たった今でもこれらの公式はスムーズに出てきますね笑

まとめ

ベクトルの外積(右ねじの法則)という新たな概念を使えば、今回のようにベクトルの向きまでまとめて1つの方法で対処することができます。

外積の計算は非常に面倒ですので、覚えなくていいです。というか、電験で外積のベクトル計算なんて出ていきませんし笑

どうしても知りたい方は、コチラのサイトで詳しい計算が紹介されていましたので、そちらをご覧になってください。

単純暗記は省エネしてやっていきましょう!

それでは次回!