風力発電の能力が風量の何乗に比例するかイメージが湧きますか？

皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。

少し前に風力発電に関する独自解釈の記事を書きました。

風力発電の能力が風速の何乗に比例するかイメージが湧きますか？皆さまお疲れさまです。ケンタ（@den1_tanaoroshi）です。電験の各単元を理解していく上で原理を抑えておくと、数値関係...

今回はその続編を書いてみます。

　この記事の内容

風速→風量だと？
- 導出
もう少しお手軽な導出方法
まとめ

風速→風量だと？

前回は風速と出力の関係を説明していました。一方で、風速と似た単語で「風量」というものもあります。

風量の単位は

m^{3} / s

であり、単位時間に流れる体積のことです。

風量は風速と概念的に似ていますので、出力は風量の3乗に比例するのかどうかは気になるところです。前回と同じように導出してみます。

導出

前回と同様に運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2}$ を使いますので、風が流れるときの知りたい量としては質量と速度です。これらの量を風量 $V [m^{3} / s]$ を使って設定していきます。

体積は風量 $V [m^{3} / s]$ 、吹く時間 $Δ t [s]$ 、空気の密度 $ρ [kg / m^{3}]$ を使って $ρ V Δ t [kg]$ と表せます。

速度は風量 $V [m^{3} / s]$ 、断面積 $S [m^{2}]$ を使って $\frac{V}{S} [m / s]$ と表せます。

あとは運動エネルギー $E$ に代入していき

$\begin{aligned} E & = \frac{1}{2} m v^{2} \\ = \frac{1}{2} ρ V Δ t \times (\frac{V}{S})^{2} \\ = \frac{ρ Δ t V^{3}}{2 S^{2}} \end{aligned}$

となります。出力 $P$ は単位時間あたりのエネルギー $E$ ですので、

$\begin{aligned} P & = \frac{E}{Δ t} \\ = \frac{ρ V^{3}}{2 S^{2}} \\ \propto V^{3} \end{aligned}$

つまり、出力は流量の3乗にも比例することになります。

もう少しお手軽な導出方法

流量についても速度のときと同様に根本からの導出をしましたが、「出力が速度の3乗に比例する」ということを覚えていれば、流量の導出はもう少し簡単に済む方法があります。

速度 $v$ と流量 $V$ には

$\begin{array}{r} v = \frac{V}{S} \end{array}$

の関係があるので、

$\begin{aligned} P & \propto v^{3} \\ = {(\frac{V}{S})}^{3} \\ \propto V^{3} \end{aligned}$

と変形できます。

$\propto$ と $=$ が入り混じった式変形となります。
$\begin{array}{r} {(\frac{V}{S})}^{3} \propto V^{3} \end{array}$ のところは詳しく書くと
$\begin{array}{r} {(\frac{V}{S})}^{3} = \frac{1}{S^{3}} \times V^{3} \propto V^{3} \end{array}$ となります。 $\frac{1}{S^{3}}$ を定数としています。