加法定理さえ覚えておけば半角・倍角・3倍角の公式を覚える必要がない | 電験1種の棚卸し

加法定理さえ覚えておけば半角・倍角・3倍角の公式を覚える必要がない

皆さまお疲れさまです。ケンタ(@den1_tanaoroshi)です。

電験で使用する三角関数の公式は数多くありますが、加法定理を覚えていれば代わりに覚えなくて済む公式がいくつかあります。と言いますか、全部似たような公式ですので、押さえるのは加法定理だけにしておかないと、ややこしくなります。

当ブログで度々主張している「導出を押さえて省エネで覚える」を今回も主張させていただきます。もちろん私も最小限のものしか覚えていません。

覚えなくて済む公式は以下の3種類となります。

  1. 倍角の公式
  2. 半角の公式
  3. 三倍角の公式
説明しやすい順番になっています。

そもそも加法定理とは

加法定理の公式は以下となります。

\begin{align}\mathrm{sin}(\alpha + \beta)&=\mathrm{sin}\alpha\mathrm{cos}\beta \boldsymbol{+} \mathrm{cos}\alpha\mathrm{sin}\beta \\
\mathrm{cos}(\alpha + \beta)&=\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta \boldsymbol{-} \mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta\\ \end{align}

加法定理の導出から暗記しようとすると埒が明かないので、ここは暗記してしまいましょつ。

「埒が明かない」の基準は人それぞれですが。

語呂合わせの覚え方は

  • $\mathrm{sin}(\alpha + \beta)$
    「咲いたコスモス、コスモス咲いた」
      ※冒頭のサインと咲いたをくっ付けるのがポイント
  • $\mathrm{cos}(\alpha + \beta)$
    「コスモスコスモス、咲いた咲いた」
      ※冒頭のコサインとコスモスをくっ付けるのがポイント。こっちはマイナス

です。

これを起点として3種類の公式を導出していきます。

倍角の公式

ポイントは分割です。$2\theta$を$\theta+\theta$として、加法定理を利用します。

$\mathrm{sin}2\theta=2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta$の導出

$\mathrm{sin}$の加法定理を使っていきます。

\begin{align}\mathrm{sin}2\theta&=\mathrm{sin}(\theta+\theta)\\
&=\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta + \mathrm{cos}\theta\mathrm{sin}\theta\\
&=2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta\\ \end{align}

$\mathrm{cos}2\theta=2\mathrm{cos}^2\theta-1$等の導出

$\mathrm{cos}$の加法定理を使っていきます。

\begin{align}\mathrm{cos}2\theta&=\mathrm{cos}(\theta+\theta)\\
&=\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\theta – \mathrm{sin}\theta\mathrm{sin}\theta\\
&=\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta\\ \end{align}

これも公式として紹介はされていますが、$\mathrm{sin}^2\theta+\mathrm{cos}^2\theta=1$を使えば、別の形の公式として式(1)(2)を導出できます。

\begin{align}\mathrm{cos}^2\theta-\mathrm{sin}^2\theta&=(1-\mathrm{sin}^2\theta)-\mathrm{sin}^2\theta\\
&=1-2\mathrm{sin}^2\theta …(1)\\
&=1-2(1-\mathrm{cos}^2\theta)\\
&=2\mathrm{cos}^2\theta-1 …(2)\\ \end{align}

半角の公式

ポイントは置き換えです。倍角の公式を使って、$\theta$を$\frac{\theta}{2}$に置き換えます。

$\mathrm{sin}\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{1-\mathrm{cos}\theta}$の導出

式(1)

\begin{align}\mathrm{cos}2\theta&=1-2\mathrm{sin}^2\theta\\ \end{align}

について、$\theta$を$\frac{\theta}{2}$に置き換えると、

\begin{align}\mathrm{cos}2\times\frac{\theta}{2}&=1-2\mathrm{sin}^2\frac{\theta}{2}\\
\mathrm{sin}^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\mathrm{cos}\theta}{2}\\
\therefore \mathrm{sin}\frac{\theta}{2}&=\pm \sqrt{\frac{1-\mathrm{cos}\theta}{2}}\\
\end{align}

となります。$\theta$がどの象限の角度かによって$\frac{\theta}{2}$の象限が決まり、$\mathrm{sin}\frac{\theta}{2}$の正負が決まります。

このように、$\mathrm{sin}$の半角の公式は、加法定理→倍角の公式→半角の公式の順で導出できます。

$\mathrm{cos}\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{1+\mathrm{cos}\theta}$の導出

式(2)

\begin{align}\mathrm{cos}2\theta&=2\mathrm{cos}^2\theta-1\\ \end{align}

について、$\theta$を$\frac{\theta}{2}$に置き換えると、

\begin{align}\mathrm{cos}2\times\frac{\theta}{2}&=2\mathrm{cos}^2\frac{\theta}{2}-1\\
\mathrm{cos}^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\mathrm{cos}\theta}{2}\\
\therefore \mathrm{cos}\frac{\theta}{2}&=\pm \sqrt{\frac{1+\mathrm{cos}\theta}{2}}\\
\end{align}

となります。$\theta$がどの象限の角度かによって、$\mathrm{cos}\frac{\theta}{2}$の正負が決まります。

このように、$\mathrm{cos}$の半角の公式も、加法定理→倍角の公式→半角の公式の順で導出できます。

3倍角の公式

これについてもポイントは分割です。$3\theta$を$2\theta+\theta$として、倍角の公式を2回連続して利用します。

$\mathrm{sin}3\theta=3\mathrm{sin}\theta-4\mathrm{sin}^3\theta$の導出

$\mathrm{sin}$の加法定理を使っていきます。

\begin{align}\mathrm{sin}3\theta&=\mathrm{sin}(2\theta+\theta)\\
&=\mathrm{sin}2\theta\mathrm{cos}\theta + \mathrm{cos}2\theta\mathrm{sin}\theta\\
\end{align}

どんどん$\mathrm{cos}$は消去していきたいので、$\mathrm{cos}2\theta$には式(1)$1-2\mathrm{sin}^2\theta$を代入します。

\begin{align}&\ \ \ \ \ 2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}\theta\mathrm{cos}\theta + (1-2\mathrm{sin}^2\theta)\mathrm{sin}\theta\\
&=2\mathrm{sin}\theta\mathrm{cos}^2\theta +\mathrm{sin}\theta -2\mathrm{sin}^3\theta\\
&=2\mathrm{sin}\theta(1-\mathrm{sin}^2\theta) +\mathrm{sin}\theta -2\mathrm{sin}^3\theta\\
&=2\mathrm{sin}\theta-2\mathrm{sin}^3\theta +\mathrm{sin}\theta -2\mathrm{sin}^3\theta\\
&=3\mathrm{sin}\theta-4\mathrm{sin}^3\theta\\
\end{align}

このように、$\mathrm{sin}$の3倍角の公式は、加法定理→倍角の公式→3倍角の公式の順で導出できます。

$\mathrm{cos}3\theta=-3\mathrm{cos}\theta+4\mathrm{cos}^3\theta$の導出

$\mathrm{cos}$の加法定理を使っていきます。

\begin{align}\mathrm{cos}3\theta&=\mathrm{cos}(2\theta+\theta)\\
&=\mathrm{cos}2\theta\mathrm{cos}\theta – \mathrm{sin}2\theta\mathrm{sin}\theta\\
\end{align}

どんどん$\mathrm{sin}$は消去していきたいので、$\mathrm{cos}2\theta$には式(2)$2\mathrm{cos}^2\theta-1$を代入します。

\begin{align}&\ \ \ \ \ (2\mathrm{cos}^2\theta-1)\mathrm{cos}\theta – 2\mathrm{sin}\theta\mathrm{con}\theta\mathrm{sin}\theta\\
&=2\mathrm{cos}^3\theta-\mathrm{cos}\theta – 2\mathrm{sin}^2\theta\mathrm{con}\theta\\
&=2\mathrm{cos}^3\theta-\mathrm{cos}\theta – 2(1-\mathrm{cos}^2\theta)\mathrm{con}\theta\\
&=2\mathrm{cos}^3\theta-\mathrm{cos}\theta – 2\mathrm{con}\theta+2\mathrm{cos}^3\theta\\
&=-3\mathrm{cos}\theta+4\mathrm{cos}^3\theta\\
\end{align}

このように、$\mathrm{cos}$の3倍角の公式も、加法定理→倍角の公式→3倍角の公式の順で導出できます。

ちなみに、$\mathrm{sin}$の3倍角の公式と正負が反転します。

まとめ

このように、加法定理を起点として、

  1. 倍角の公式
  2. 半角の公式
  3. 三倍角の公式

を導出することができます。

覚えておくことは、加法定理置換え・分割です。

それでは次回!

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コメント

  1. 匿名 より:

    θ+θ=2θ
    2年くらい勉強してましたが全く気づかなかったです!ありがとうございました